Funciones de proporcionalidad inversa

Este tipo de funciones tienen la particularidad de que el producto de las variables dependiente e independiente es siempre una constante.

Veamos algunos casos de la vida real en lo que ésto se cumple.

• Dada una distancia fija d, el producto entre la velocidad y el tiempo que tardamos en recorrer dicha distancia es igual a d.

• Si la superficie de un rectángulo es S, el producto entre los posibles lados a y b de dicho rectángulo cumple que a.b=S

• La relación entre la presión y el volumen en un gas ideal sometido a una temperatura k constante, que sigue el principio conocido como ley de Boyle-Mariotte: P V = k. En este caso, el dominio de definición se restringe a la rama positiva de la función de proporcionalidad inversa, ya que no existen volúmenes ni presiones negativos.

• La relación entre el caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito de una capacidad determinada.

• La relación entre la intensidad de corriente y la resistencia eléctrica en una porción de circuito sometida a una diferencia de potencial constante, como consecuencia de la ley de Ohm: V = IxR. La intensidad y la resistencia se hallan en relación de proporcionalidad inversa.

• La relación entre el número de pacientes que asiste a una consulta médica de horario limitado y el tiempo que puede dedicar el médico a cada paciente.

Vamos a analizar un ejemplo.

Llamamos d a una cierta distancia fija (por ejemplo la distancia Madrid-Barcelona, si vamos por la AP-2 es de 630 km), denominamos v a la velocidad constante ideal a la que recorreremos dicha distancia, y sea t el tiempo que necesitamos para cubrir d a la velocidad v.

de la asignatura de Física sabemos que la fórmula para la velocidad es

Como la distancia es constante, reodenando la expresión llegamos a

Ahora bien, supongamos que nuestra variable independiente es el tiempo; o lo que es lo mismo, nosotros decidimos el tiempo que tardaremos en recorrer la distancia d. En este contexto, v será la variable dependiente, que dependerá de t. De esta manera, usamos la primera de las expresiones para este ejemplo y tenemos que

Haremos una tabla de valores para diferentes valores de t y calculamos las velocidades a las que tenemos que viajar para cubrir la distancia del ejemplo. Representamos ahora esta función gráficamente como así también la tabla de valores que hicimos.

Es llamativo observar como "se dispara" la velocidad requerida para cubrir una misma distancia en la medida que exigimos hacerlo en un tiempo menor.

Desafío: ¿Que ocurre cuando t=0? ¿Y si t es negativo?

Desafío: Sin tener que realizar una tabla de valores imagina la forma de la curva si d fuese negativo.

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A este tipo de funciones del tipo

se le denomina FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA y la gráfica que representa a este tipo de funciones es una hipérbola con las siguientes propiedades geométricas:

• Las asíntotas de la hipérbola coinciden con los ejes coordenados

• La función no está definida para x=0.

PARA SABER MÁS

VÉRTICE DE LA HIPÉRBOLA

El vértice la hipérbola se corresponde con aquel punto de la hipérbola que se encuentra más cerca de origen de coordenadas. Si vemos la gráfica, estimamos la presencia del vértice justo donde la curva tiene mayor curvatura. (al igual que la parábola)

Sin embargo no se trata de un punto que podamos determinar fácilmente si lo queremos hacer con la única ayuda del ojo. No es como el vértice de un cuadrado o de un polígono. Vamos a analizar como hallarlo.