Funciones cuadráticas
En este nuevo tema vamos a aprender lo qué son las funciones que llamamos cuadráticas.
Para empezar a entender sobre este asunto vamos a recordar que dado un cuadrado de lado l, su área S, basta calcula l x l, o lo que es lo mismo
Vamos a graficar la función usando una herramienta que aprendimos en el tema de funciones lineales: el graficador de funciones de Google. Recordemos que para Google es suficiente que escribamos la expresión correpondiente a la variable independiente (el lado del cuadrado), pero usando la x, como suele ser habitual para nombrar a esta variable.
Bien, ya tenemos la gráfica de la función del área del cuadrado en función de la longitud de lado. En esta ocasión, el exponente de la variable independiente hace que la relación entre la x y la y no sea lineal, o reparando en la gráfica, la relación entre ambas variables no está representada por una recta, ¡sino que lo está por medio de una parábola!
Ahora bien, si consideramos el fenómeno físico del ejemplo que estamos estudiando: las longitudes no pueden ser negativas. Por lo tanto, nos sobra la "mitad" izquierda de la parábola que hemos hecho. Así, restringiendo la función a los reales no negativos, llegamos a la siguiente representación:
Observa lo que hemos escrito en el buscador: X^2, from 0 to 10
Así, hemos pedido a Google que nos represente la función x cuadrado para valores de x desde 0 hasta 10. Google inmediatamente nos muestra la función para el intervalo pedido.
Desafío: Si tenemos un cuadrado de 1 metro de lado. Evaluamos S(1)=1 . 1 = 1. ¿Cuánto valdrá el lado del cuadrado para que la superficie sea:
a) 2
b) 4
c) 9
La que acabamos de ver no es más que una de las infinitas funciones cuadráticas posibles. De hecho el ejemplo anterior se correspondía a la versión "más sencilla" de función de este tipo. Sin embargo, todas ellas tienen las siguientes características en común:
El dominio de la función es el conjunto de los reales.
La representación gráfica de la función es siempre una parábola cuyo eje es paralelo al eje y
Al igual que con las funciones lineales, para las funciones cuadráticas existe también una expresión general que a continuación presentamos:
donde a, b y c son números reales.
Significación geométrica de los coeficientes
El valor de a nos indica dos características fundamentales de la parábola que representa:
a) a determina la orientación de la parábola.
Si a<0, la parábola "apunta" hacia abajo
y si a>0, la parábola "apunta" hacia arriba
b) La formula de la parábola. Más " alargada" para valores grandes de a y más "achatada" para valores pequeños de a.
El valor de b afecta únicamente a la ubicación de la parábola y no a su forma que depende exclusivamente de a.
Consideremos dos funciones cuadráticas f y g, en las que el valor de a coincide en ambas, pero no así el de b. Definimos la expresión analítica para cada función,
Veamos sus gráficas.
Ambas parábolas son idénticas excepto en la ubicación.
Ahora centraremos nuestra atención en un punto que es especialmente importante de la parábola que representa nuestra función cuadrática: el vértice.
Conocer este punto tan especial nos aportará mucha información que nos ayudará a dibujar la parábola, y si ya contamos con la gráfica, a obtener la expresión analítica de la función. Existe una fórmula que nos permite conocer la abscisa (valor de x), del vértice de una parábola
¿No te resulta una fórmula conocida?
Desafío:
a) Nos piden hallar los valores que satisfacen la ecuación cuadrática
aplicando la famosa fórmula de resolución.
b) Supongamos ahora que ambas raíces (X1 y x2) son reales, o lo que es lo mismo, que la parábola asociada corta al eje x en (x1,0) y (x2,0). Si sabemos que el eje de la parábola es paralela al eje y ¿Qué relación hay entre X1, X2 y Xv? Demuéstralo.
El valor de C, también influye en la posición de la parábola, pero únicamente en el sentido vertical; de hecho, c nos indica el corte de la parábola con el eje y; es decir, la parábola pasa por el punto (0,c)
Comparemos las siguientes funciones cuadráticas:
Las gráficas serán
Vemos como f(0)= 1 y g(0)=-1; exactamente el valor de c para cada función.
Para finalizar el tema te dejo aquí un aplet de Geogebra donde puedes modificar los valores de a, b y c de la expresión general de una función cuadrática y ver como se modifica el tamaño, orientación y posición de la gráfica.
En el próximo post veremos los mismos tres temas que hemos tratados, pero al revés. A partir de la gráfica tendremos que hallar la expresión analítica de la función correspondiente.
