Funciones lineales
En esta Unidad 5 de Funciones elementales vamos a ver un concepto que ya nos es conocido, solo que aquí se introduce con otro nombre: las funciones lineales.
¿Y qué es una función lineal?
¡Quieto! Vayamos de a poco. Primero tenemos que hacernos otra pregunta:
¿Recordamos los que es una función?
Vaya, parece que tendremos que hacer un ejercicio de memoria. Aunque vimos los conceptos fundamentales de función en el Tema 4, nunca es tarde para hacer un repaso. En este enlace encontrarás una explicación brillante de lo que es una función:
http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/13-funciones-reales-de-variable-real-5#.Vug0CdLhCKo
Una vez aclarado lo fundamental, ya recordamos que una función es una ley, un criterio, un juego que relaciona elementos de dos conjuntos.
Si usamos la notación matemática escribimos
Esta expresión la leemos: Sea la función f, del conjunto A en el conjunto B tal que relaciona un elemento x de A con un único elemento y de B. En particular al elemento y de B se le llama f(x) con la finalidad de identificar al elemento de A con el cual se relaciona según la función f
Al primero de estos conjuntos le llamamos dominio y los elementos que pertenecen a dicho conjunto diremos que son elementos válidos para participar en la ley o condiciones que vendrán impuestas por la función. Al segundo conjunto se le llama imagen de f.
Como si de una máquina se tratara podemos considerar que en conjunto A depositamos la materia prima x, que la metemos en la máquina f y obtenemos un producto f(x). Imaginemos que tenemos una masa hecha con harina agua y sal, esa masa es nuestra materia prima (variable de entrada x), que la metemos en el horno según unas condiciones de tiempo y temperatura de cocción (la expresión de la función), y obtenemos un pan cocinado (variable de salida y). En este contexto el pan depende de lo que hayamos puesto en el horno. Siempre que pongamos la misma masa, como el horno hace siempre lo mismo, el producto final será el mismo. Así y=f(x) será lo que llamemos nuestra variable dependiente. ¿Dependiente de quién? de la x, que llamaremos variable independiente.
Bueno, ya recordamos lo que es una función. En este Tema veremos que existen algunas formas especiales mediante las cuales se relacionan las variables de entrada y de salida. Dicho de otra manera, cuando hagamos las gráficas de las funciones en un sistema de coordenadas, veremos que la forma de la curva que obtendremos dependerá de la expresión que adoptemos para la función. Aprenderemos a predecir la forma y la ubicación de la curva con solo observar cómo está definida.
En ocasiones, veremos que con un solo golpe de vista, podremos llegar a identificar la gráfica de la función, aunque sea aproximadamente. En otras expresiones más complejas, en cambio, deberemos hacer un estudio más detallado de algunas de sus características para lograr dibujarla.
En este post y en los siguientes estudiaremos un tipo de funciones muy sencillas, que en el libro del curso llaman funciones elementales.
Hoy vamos a ver el tipo de funciones más sencillas: las funciones lineales. Nos acercaremos al concepto de manera que tú descubras qué es una función lineal.
Imagina que tiene un teléfono móvil de estos con tarjeta (que sólo puedes usar si tienes saldo) y sabes que por cada 5 euros de saldo que tengas, puedes hablar 15 minutos.
Desafío: Dibuja en un plano coordenado (sistema de coordenadas) los minutos que puedo hablar en función del dinero que le cargo al teléfono. Analiza bien cuál en la variable que depende de la otra. Prueba diferentes duraciones de llamada para diferentes saldos, haz una tabla para unos 5 valores y mira la forma de la curva que te queda ¿Qué tipo de curva has obtenido?
Si has dibujado bien la gráfica del desafío anterior, con toda seguridad tienes ante tus ojos una recta, que "sube" a medida que aumentamos la cantidad de euros que le metemos al móvil ¿es lógico? ¡Claro! es normal pensar que si tienes el doble de saldo, hablarás el doble de minutos. Eso sí, observa qué ocurre cuando tienes 0 euros. Pues eso, que hablas 0 minutos.
Vamos a intentar usar lo que sabemos de álgebra para poder escribir la expresión de la función que expresa los minutos que puedo llamar en función del saldo de mi móvil.
Llamaremos x al dinero que tengo de saldo, e y a los minutos posibles de llamadas. Como dijimos antes, por cada 5 euros de saldo puedo hablar 15 minutos. o sea que si x=5 es y=15. Así, imagino que debo relacionar de alguna manera la x y la y para que se cumpla que si x=5 sea y=15 ¿qué le hago a la x para que se convierta en la y?
Analicemos la siguiente tabla de valores para nuestro problema:
¿Qué relación vemos? ¿Cómo es cada valor de y si lo comparamos con su correspondiente valor de x?
No es difícil ver que cada valor de y es exactamente el triple de su correspondiente x. Así la expresión que relaciona ambas variables es:
Y aquí es donde viene lo bueno. Con esta fórmula podemos saber cuántos minutos podemos hablar para cada valor arbitrario de euros que tengamos de saldo en la tarjeta. A continuación dibujamos la gráfica de la función. En el eje de abscisas, o de las x, representaremos el saldo en euros, y en el eje de ordenadas, o de las y, la cantidad de minutos que podemos hablar por teléfono.
Ahora te planteo que reflexiones y me contestes a las siguientes cuestiones...
Desafío: Supongamos que desde el operador de tu teléfono lanzan una oferta en la que el coste por minuto es de 20 céntimos.
a) ¿Me resulta más o menos conveniente?
b) Haz una tabla de valores para esta nueva tarifa.
Como ahora establecemos una nueva relación entre el saldo y los minutos de llamada, tenemos una nueva función, que llamaremos g(x)
Desafío: Encuentra la expresión analítica para g(x)
Desafío: ¿Se cortan ambas rectas en algún punto? ¿En cuál? ¿Por qué?
Desafío: Compara las expresiones f(x) y g(x), ¿Qué recta está más "parada"? Compara lo que ocurre si varías el número que acompaña a la x.
Nota: puedes dibujar gráficas de funciones en el mismo buscador de Google. Basta escribir en el campo de búsqueda la expresión de la función. Para f(x) es suficiente escribir 3*x. Si quieres representar más de una función a la vez basta separarla con comas.
Este tipo de funciones que hemos visto se representan mediante rectas que pasan todas por el origen, y por ello, reciben un nombre especial: Funciones de proporcionalidad, y la expresión general para esta clase de funciones es
Al número m se le llama razón de proporcionalidad y no es más que la pendiente de la recta.
Desafío: Si recordamos nuestras funciones f(x) y g(x), cuanto más cara es la tarifa, ¿Qué ocurre con la pendiente de la recta?
Cambiando de asunto, nos olvidaremos por un rato del móvil y recordaremos algún concepto que ya has visto anteriormente en la asignatura de Matemáticas... ¿Recuerdas el concepto de probabilidad? ¿Recuerdas cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda equilibrada obtengamos una cara?
Bueno, recurriendo un poco a la lógica, si la moneda está equilibrada (no tiene trampa), es igualmente probable (equiprobable) obtener cara u obtener cruz. Así, si consideramos que el total de probabilidad para un fenómeno es 1 y que los únicos sucesos posibles al lanzar una moneda son obtener cara (C) o cruz (X), entonces la probabilidad de lograr cara es 0.5 o 1/2, según prefieras.
Así las cosas, cojo un cronómetro y en un experimento de laboratorio intentaré determinar la probabilidad de obtener cara en función del tiempo.
Cuando el cronómetro está en 0... ¿Cuál es esa probabilidad de sacar cara?. Pues 1/2. ¿y cuando han pasado 10 segundos?... Pues 1/2. ¿Y si han pasado 45 segundos?...
¿Varía la probabilidad según pasa el tiempo si no le hago ningún cambio físico a la moneda?
Veamos otro ejemplo. Volvamos al mundo de los teléfonos. Pensemos en el teléfono fijo que tenemos en casa, leemos las condiciones del contrato, y vemos que nos dicen que tenemos una tarifa plana de 15 euros al mes para llamadas a otros teléfonos fijos. Dicho de otra manera, da igual la cantidad de minutos que hablemos que siempre pagaremos lo mismo.
Desafío: Grafica la función h(x) que expresa la factura mensual del teléfono del último ejemplo en función de los minutos que hable a otros teléfonos fijos. ¿Qué gráfica te queda? ¿Cuánto vale la pendiente de la recta?
Desafío: Una vez dibujada h(x) vamos a pensar cuál es la expresión para la función. ¿Hace falta poner una x en la expresión? Si siempre tenemos el mismo valor para y, entonces que pondremos a la derecha de "y=...."?
Si te has rendido y quieres ver la solución, basta pensar que en estos casos en los que el valor de la función es el mismo para cuelquier valor de x, la gráfica es una recta horizontal, con pendiente nula. A estas funciones se las llama funciones constantes. Sobran las explicaciones!
La expresión general para las funciones constantes es del tipo
y su gráfica es
Supongamos que en casa nos dan un voto de confianza y deciden hacernos el favor de cambiarnos el bendito teléfono de prepago y nos pasan a contrato.
Nos comentan que ahora las condiciones son las siguientes:
Pagaremos una cuota fija al mes de 25 euros.
Por cada minuto que hablemos pagaremos 5 céntimos.
Como somos muy amantes de las matemáticas, no podemos evitar investigar qué función gobierna mi pago mensual de teléfono.
Antes que nada, pensemos que es de buenos estudiantes seguir unos pasos obligados para hacer cualquier análisis matemático de este tipo:
a) Le daremos un nombre a la función que vamos a hallar. Por ejemplo... r(x)
b) Pensamos el valor de la función (en este caso, el dinero que paguemos al mes) para valores representativos (que nos aporten información relevante) de la variable independiente (en este caso, los minutos que hablemos). Pista: valores de x relevantes son por ejemplo x=0, x=10,...
c) Hacemos una tabla de valores para esos valores, hacemos la gráfica, y vemos la forma de la curva que nos queda.
d) Pensamos si la curva resultante es lógica en la realidad (¿Si hablo más pago más? ¿Es posible tener valores negativos para x?)
Los pasos propuesto es típico de estudiantes que toman un primer contacto con este tipo de fenómenos. Con la experiencia, aprenderemos a "mirar" los datos relevantes, dibujar rápidamente la función y daremos en pocos segundos la expresión general de la función.
Desafío: Haz la tabla de valores y la gráfica para el caso del teléfono por contrato que nos compraron, con las condiciones dichas más arriba.
Si hemos hecho bien las cuentas, la gráfica resultante es nuevamente, cómo no!, una recta, pero con una salvedad. No pasa por el origen.
Nos encontramos con un nuevo caso de función representada gráficamente por una recta. Cuando mostremos su expresión veremos que los dos ejemplos vistos antes son casos particulares de la que veremos ahora, y que por su vinculaciones con el mundo real se ha decidido darles nombre propio.
Vamos a pensar la expresión que gobierna la relación entre el pago que haremos por mes y la cantidad de los minutos que hablemos en ese mismo período.
Es habitual en Matemáticas usar los conocimientos previos para construir los nuevos. Así, vamos a valernos de nuestra función de proporcionalidad vista antes para intentar entender nuestra nueva situación
¿Cuál es el elemento que define a cada función de proporcionalidad? La respuesta es inmediata: la razón de proporcionalidad, o dicho en términos geométricos, la pendiente o "inclinación" de la recta. Pensemos entonces cuál es la inclinación de la recta que representa la función de nuestro caso.
Supongamos que sólo pagaremos los minutos que hablamos, sin tener en cuenta el abono mensual. Haremos una tabla de valores para calcular la parte de la factura que depende del tiempo hablado y a continuación haremos un gráfica para esa tabla de valores.
Ya sabemos cuál es la expresión para esta función de proporcionalidad
Si reflexionamos un poco más, nos daremos cuenta enseguida que el abono mensual, el de la tarifa básica, no varía, independientemente de los minutos que hablemos. Nuevamente nos encontramos con un tema que ya conocemos. ¡Sí! ¡la tarifa básica es una función constante! En particular es la función
Vaya, ésto va tomando forma. Puedo calcular por separado la parte de la factura que depende de tiempo de las llamadas y la parte que no depende de ello. Pero al final nos interesa saber el importe total que pagaremos cada mes. La palabra "total" nos sugiere sumar, claro. Así, la función que buscamos vendrá dada por la suma
Estamos ante una interesante conclusión. La función que buscábamos fue suma de una función de proporcionalidad más una constante. Veremos a continuación que cualquier función de este tipo cumple con esta propiedad.
Nos hallamos ante las últimas conclusiones del tema. Nuestro último reto es el de hallar la expresión general de cualquier fenómeno que se pueda explicar mediante este tipo de funciones cuyas gráficas son rectas. Considerando la observación hecha en el párrafo anterior, damos la expresión
Donde m es la pendiente de la recta y n el componente constante de la función.
Es muy importante notar que cuando x=0 justamente y=n. Esta observación nos permite graficar nuevamente nuestro ejemplo del teléfono con contrato. La nueva recta será la msima que la anterior, con la diferencia que a esta debemos "subirla paralelamente" 25 unidades. Ahora la recta cruzará al eje de ordenadas en y=25, que es el pago que realizaré cuando no hable nada ese mes.
Después de todo lo visto, la primera observación que hacemos es que todos estos fenómenos se explican gráficamente mediante rectas. Las funciones cuya gráfica es una recta se denominan funciones lineales.
Estas funciones, cuya expresión general (ecuación explícita) es:
geométricamente se corresponde con la ecuación general de la recta, quedan perfectamente definidas cuando conocemos los valores de los coeficientes m y n.
Hay otras maneras equivalente de escribir las funciones lineales. Veamos un par de estas maneras:
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE:
ECUACIÓN GENERAL:
Ejemplo:
A continuación te dejo una cuestiones para que puedas profundizar más en este tema
Desafío: ¿Por que las funciones lineales se llaman "lineales"?
Desafío: Da un ejemplo real en el cual la pendiente sea negativa. Explica el fenómeno y da la expresión que explique ese fenómeno que propones.
Desafío: ¿Por qué las funciones constantes no tienen término lineal (término de la x)?
Desafío: Supongamos que me he comprado un coche nuevo este año ( 1 de enero de 2016) y que de acuerdo a las estimaciones de un conocido, el gasto mensual en euros que tendré de gasolina será de 40 euros. El importe del seguro anual es de 425 euros y y la tasa municipal de circulación asciende a 110 euros cada año.
Me interesa saber la función f(x) que relaciona el gasto total anual acumulado en función de los años de antigüedad del vehículo.
a) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?
b) ¿Cuál es la componente constante de la función?
c) grafícala y da la expresión de f(x)
Desafío: Supongamos que me he comprado un coche nuevo este año ( 1 de enero de 2016) y que el importe del seguro anual es de 425 euros y y la tasa municipal de circulación asciende a 110 euros cada año.
En esta ocasión desconozco la cantidad de kilómetros que realizaré, por lo que mi estudio se limitará a obtener la expresión de la función que explique el gasto que me ocasionará mi coche para UN ÚNICO AÑO en función de los kilómetros que haga. En la ficha técnica del coche dice que el consumo normal es de 6 litros por cada 100 km. Además se que el precio por litro de gasolina es de 0.95 euros (Nota: supongamos que el precio de la gasolina no variará en todo el año).
a) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?
b) ¿Cuál es la componente constante de la función?
c) grafícala y da la expresión de f(x)
Desafío: Completa la siguiente tabla. En cada fila encontrarán los datos necesarios para obtener los restantes elementos de esa misma fila.
Te dejo a continuación un ejemplo con Geogebra donde podrás modificar los parámetros m y b de la expresión general de la función lineal y ver en tiempo real cómo varía la gráfica.
