Funciones lineales "a trozos".

Cuando vimos las funciones lineales, las representaciones gráficas de las mismas siempre eran rectas; una única recta para ser precisos. El dominio de dichas funciones era el conjunto de los reales y la relación entre los elementos de los conjuntos dominio e imagen venía dada siempre por el mismo criterio, la misma ley. En definitiva, por la misma expresión.

Sin embargo, hay fenómenos de la vida real que no pueden ser explicados o modelados por una relación tan simple, y que requieren distintas consideraciones para determinados intervalos del dominio (subconjuntos de los reales).

Lo mejor es ver algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Teléfono móvil..... Otra oferta!

En esta ocasión nos comentan que:

durante los primeros 6 meses pagaremos 20 euros al mes,
los siguientes 6 meses 25 euros
y a partir del año, 32 euros.

Vaya! ¡No podemos representar esta situación con una función lineal! Si aplicamos lo visto antes, podríamos asociar una función lineal para cada tramo en el cual el precio es el mismo. Así, tendremos 3 funciones lineales distintas:

Sin embargo, con ésto no hemos terminado de explicar el fenómeno. ¿Por qué? Pues simplemente porque para cada valor de x debemos decir cuál de las 3 funciones que tenemos es la válida. Basta recordar que en la definición de función nos decían que para cada valor del dominio tenemos uno y sólo un valor para la función. Ésto nos obliga a dividir el dominio en tres partes, una para cada función lineal. ¿Y cuáles son esos trozos? Fácil, los vemos directamente en las condiciones del contrato que nos ofrecen:

El tramo para l(x) es el intervalo [0,6)
El de m(x) es [6,12)
el de n(x) es [12,∞)

Esto se va aclarando. Si elijo un valor de x cualquiera, sólo le podré aplicar ahora una única función. Existe una notación clásica para definir este tipo de funciones que poseen diferentes leyes de transformación para cada intervalor del dominio,

Ahora, como hemos hecho con las funciones lineales que vimos antes, vamos a obtener la gráfica de f(x). Para cada intervalo de x, basta aplicar la ley que le corresponde.

Ejemplo 2.

Nos montamos en un ascensor en planta baja y le damos al botón para ir a la quinta planta. Lógicamente, como si de un coche se tratara, el ascensor empieza su movimiento desde el reposo y se acelera hasta llegar a una cierta velocidad que se mantendrá constante hasta un poco antes de llegar a la planta solicitada donde comenzará a desacelerar hasta detenerse. Le daremos valores numéricos a nuestro problema.

Desde que iniciamos el movimiento hasta que pasan 2 segundos (t=2) el ascensor se acelera a 1 m/s por cada segundo.
Desde t=2 hasta t=7 el ascensor se mueve a 2 m/s
Desde t=7 hasta t=10 El ascensor reduce su velocidad con aceleración constante hasta detenerse.

Desafío: Halla la expresión de esta función a trozos que expresa la velocidad en función del tiempo. Haz la gráfica.

Desafío (para intrépidos) : ¿Cuántos metros recorrió en total el ascensor en total? (Pista: para calcular las distancias recorridas durante la aceleración inicial y la desaceleración del final no hace falta usar la fórmula que expresa la distancia en función del tiempo, sino que basta conocer las velocidades medias.)

FUNCIONES A TROZOS Y CONTINUIDAD

Seguramente recordarás el concepto de función continua. Como podrás ver, en el primer ejemplo nuestra función no era continua. Claramente se ven los "saltos" en x=6 y x=12.

Desafío: ¿La función del ascensor en continua?

Aprovecharemos que estamos viendo las funciones lineales a trozos para recordar un tema que con toda seguridad has visto en cursos pasados: El valor absoluto.

La expresión de la función del valor absoluto de x es