De la gráfica a la expresión analítica. (rectas y parábolas)

En un estudio de funciones, lo habitual es que nos den una función en su forma analítica para que obtengamos su representación gráfica.

En este post haremos lo contrario: el enunciado será la representación gráfica y nosotros tendremos que obtener la expresión analítica de la función.

Nos centraremos en los casos de funciones lineales y cuadráticas.

FUNCIONES LINEALES

Como hemos visto, la ecuación explícita para una función lineal es

donde m es la pendiente de la recta y n la ordenada del punto de corte de la recta con el eje y.

Nuestra tarea se resume en hallar m y n.

¿y cómo lo hacemos?. Pues muy fácil; basta tomar dos puntos cualesquiera de la recta P1(x1,y1) y P2(x2,y2) y calcular la pendiente m de la recta mediante la siguiente fórmula

Una vez calculada la pendiente m, sólo nos queda reemplazar ese resultado en la primera ecuación explícita, y hallar n. Para ello, deberemos usar uno de los puntos que nos dieron como dato, reemplazando la x y la y del punto en la x y la y de la primera expresión (ecuación punto-pendiente), despejando n nos queda

según elijamos P1 o P2 para hallar n.

Ejemplo:

Halla la expresión de la función lineal que se corresponde a la siguiente gráfica:

Solución:

Elegimos

Desafío: Halla las expresiones analíticas de las funciones lineales a las cuales le corresponden las siguientes gráficas:

a)

b)

FUNCIONES CUADRÁTICAS

En ese caso, como dato nos darán la gráfica que representa a la función. Nuestra tarea es hallar la expresión analítica. Para ello hay muchos métodos, pero nosotros vamos a estudiar dos:

a) Tenemos como dato 3 puntos cualesquiera de la parábola. Hallamos la expresión analítica resolviendo un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

b) Tenemos como dato el vértice de la parábola y otro punto cualquiera. Consideraremos el desplazamiento del vértice respecto del origen para "llevar" la parábola al origen y calcular el valor de a usando también las coordenadas del otro punto que nos dan como dato. Para ello, usaremos

Luego, una vez hallado a, volvemos a la expresión de arriba, desarrollamos el cuadrado, operamos y llegamos a los valores de b y c.

MÉTODO 1: obtener la expresión de la función conociendo 3 puntos cualesquiera de la parábola.

Lo mejor para entender el método es mediante un ejemplo:

MÉTODO 2: CONOCIDOS EL VÉRTICE Y OTRO PUNTO DE LA PARÁBOLA. CONSIDERAMOS EL DESPLAZAMIENTO RESPECTO DEL ORIGEN.

Como hemos visto en un post anterior, cuando en la función cuadrática los valores de b y c son nulos el vértice de la parábola que representa gráficamente a la función tiene su vértice en el origen. Entonces, cada vez que nos den la gráfica desplazada y las coordenadas del vértice, podemos "llevar" la parábola al origen mediante

Luego usamos esta expresión y reemplazamos la x y la y, por las coordenadas del otro punto que nos dieron, lo que nos permitirá calcular a.

Una vez que tenemos a, volvemos a usar la misma expresión, que incluya el valor recién hallado de a, pero dejamos las x y la y originales. Posteriormente operamos, depejamos la y, y nos quedará la expresión buscada.

Usaremos este método para aplicarlo al ejemplo anterior:

Ejercicios:

Halla la expresión analítica de las funciones cuadráticas correspondientes a las siguientes representaciones gráficas usando los dos métodos estudiados:

a)