De la gráfica a la expresión analítica. (rectas y parábolas)

Sergio Olivera

17 mar 2016

En un estudio de funciones, lo habitual es que nos den una función en su forma analítica para que obtengamos su representación gráfica.

En este post haremos lo contrario: el enunciado será la representación gráfica y nosotros tendremos que obtener la expresión analítica de la función.

Nos centraremos en los casos de funciones lineales y cuadráticas.

FUNCIONES LINEALES

Como hemos visto, la ecuación explícita para una función lineal es

donde m es la pendiente de la recta y n la ordenada del punto de corte de la recta con el eje y.

Nuestra tarea se resume en hallar m y n.

¿y cómo lo hacemos?. Pues muy fácil; basta tomar dos puntos cualesquiera de la recta P1(x1,y1) y P2(x2,y2) y calcular la pendiente m de la recta mediante la siguiente fórmula

Una vez calculada la pendiente m, sólo nos queda reemplazar ese resultado en la primera ecuación explícita, y hallar n. Para ello, deberemos usar uno de los puntos que nos dieron como dato, reemplazando la x y la y del punto en la x y la y de la primera expresión (ecuación punto-pendiente), despejando n nos queda

según elijamos P1 o P2 para hallar n.

Ejemplo:

Halla la expresión de la función lineal que se corresponde a la siguiente gráfica:

Solución:

Elegimos

Desafío: Halla las expresiones analíticas de las funciones lineales a las cuales le corresponden las siguientes gráficas:

a)

b)

FUNCIONES CUADRÁTICAS

En ese caso, como dato nos darán la gráfica que representa a la función. Nuestra tarea es hallar la expresión analítica. Para ello hay muchos métodos, pero nosotros vamos a estudiar dos:

a) Tenemos como dato 3 puntos cualesquiera de la parábola. Hallamos la expresión analítica resolviendo un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

b) Tenemos como dato el vértice de la parábola y otro punto cualquiera. Consideraremos el desplazamiento del vértice respecto del origen para "llevar" la parábola al origen y calcular el valor de a usando también las coordenadas del otro punto que nos dan como dato. Para ello, usaremos

Luego, una vez hallado a, volvemos a la expresión de arriba, desarrollamos el cuadrado, operamos y llegamos a los valores de b y c.

MÉTODO 1: obtener la expresión de la función conociendo 3 puntos cualesquiera de la parábola.

Lo mejor para entender el método es mediante un ejemplo:

MÉTODO 2: CONOCIDOS EL VÉRTICE Y OTRO PUNTO DE LA PARÁBOLA. CONSIDERAMOS EL DESPLAZAMIENTO RESPECTO DEL ORIGEN.

Como hemos visto en un post anterior, cuando en la función cuadrática los valores de b y c son nulos el vértice de la parábola que representa gráficamente a la función tiene su vértice en el origen. Entonces, cada vez que nos den la gráfica desplazada y las coordenadas del vértice, podemos "llevar" la parábola al origen mediante

Luego usamos esta expresión y reemplazamos la x y la y, por las coordenadas del otro punto que nos dieron, lo que nos permitirá calcular a.

Una vez que tenemos a, volvemos a usar la misma expresión, que incluya el valor recién hallado de a, pero dejamos las x y la y originales. Posteriormente operamos, depejamos la y, y nos quedará la expresión buscada.

Usaremos este método para aplicarlo al ejemplo anterior:

Ejercicios:

Halla la expresión analítica de las funciones cuadráticas correspondientes a las siguientes representaciones gráficas usando los dos métodos estudiados:

a)